Teorie grup, kus pravdy o světě

Když jsem se příteli svěřil, že hodlám napsat článek o grupách, zasmál se: „To bude jako nějakej gruppensex, jo?“ Úplně stejný vtip vypustil z úst před více než deseti lety jiný můj kamarád, když jsem na „Úvod do teorie grup“ narazil, listuje seznamem povinných přednášek na matematicko-fyzikální fakultě Univerzity Karlovy. Tenkrát jsem mohl jen pokrčit rameny; dnes tahle poznámka u mne vyvolá spíše útrpný úsměv.

Teorie grup je totiž základním leitmotivem matematiky 20. století a perfektně demonstruje proměnu matematiky z vědy o kvantitách ve vědu o strukturách. Jako taková by si zasloužila být v širším povědomí vzdělané veřejnosti. Výsledky a nástroje teorie grup lze kromě čisté matematiky aplikovat i v informatice, chemii či genetice. Většinou se pojem grupy přibližuje laikům pomocí symetrie geometrických útvarů, zde to ale vezmeme od začátku — od polynomiálních rovnic.

Jak souvisí řešení polynomiálních rovnic se symetriemi?

Jako snad každý velký příběh i tento začal jednoho vlahého letního večera v antickém Řecku. My ale raději skočíme rovnou do Paříže, do rána devětadvacátého května roku 1836, kdy jednadvacetiletý Évariste Galois dokončoval dopis svému příteli. Tohoto mladého republikána čekal souboj na pistole a ještě než zaschl inkoust na jeho peru, byl smrtelně raněn střelou do břicha.


Évariste Galois ve věku asi patnácti let. Licensed under Public Domain via Wikimedia Commons.

Galoisovou největší vášní nebyla ani republika, ani ženy, nýbrž matematika. Jeho hlavním zájmem bylo řešení polynomiálních rovnic, ale Évaristovy rukopisy nebyly matematickou veřejností přijímány příliš vstřícně. Poslední dopis příteli Chevalierovi obsahoval shrnutí jeho výsledků a náčrtky nových idejí. O tomto dopise se vyjádřil slavný německý matematik Hermann Weyl takto:

Tento dopis, soudě dle novosti a hloubky idejí v něm obsažených, je nejspíše tím nejdůležitějším, co bylo kdy v historii lidstva napsáno.

Co jsou tedy polynomiální rovnice a k čemu jsou jejich kořeny dobré? Obecná polynomiální rovnice vypadá takto

xn + an-1 xn-1+ ... + a1 x + a0 = 0

kde n je nějaké přirozené číslo, x proměnná a ta ostatní oindexovaná písmenka zastupují nějaká konkrétní čísla. Podstatné ovšem je, že každý polynom lze zapsat i ve tvaru

(x – x1)(x – x2) ... (x – xn)

pro nějaká (obecně komplexní) čísla x1, ..., xn, která nemusí být navzájem různá.

Je vidět, že když do tohoto výrazu dosadíme libovolné číslo z x1, ..., xn, dostaneme nulu, a že když tam zkusíme dosadit číslo, které se žádnému z x1, ..., xn nerovná, dostane součin nenulových čísel. Takže čísla x1, ..., xn jsou vlastně všechna řešení (kořeny) polynomiální rovnice. Tyhle rovnice na nás vypadnou na takové spoustě míst, že se lze spíš ptát, k čemu dobré nejsou. Za všechna jejich využití jmenujme hledání vibračních frekvencí mostů a zkoumání sociálních sítí.

Nejznámější a nejjednodušší příklady jsou rovnice lineární (x + a = 0) a kvadratické. U těch druhých se na chvilinku zastavíme.

Každý polynom druhého stupně x2 + ax + b lze tedy také zapsat jako součin dvou polynomů stupně prvního (x – x1)(x – x2), kde x1 a x2 jsou čísla, která mohou být i komplexní a která mohou být stejná nebo různá. My ovšem tento součin lineárních členů můžeme roznásobit podle jednoduchého pravidla (každý s každým) a dostat tak

x2 + bx + c = x2 - x x2 - x1 x + x1 x2

Nyní si stačí uvědomit, že se musí tím pádem rovnat i koeficienty před stejnými mocninami, tedy b = –x1 – x2 a c = x1 x2. Dostali jsme takzvané Viètovy rovnice.

A teď to nejdůležitější. Všimneme si, že když prohodíme hodnoty x1 a x2, tyto rovnice se nezmění. Tedy například máme-li kořeny x1 = 5 a x2 = –3, pak i dvojice x1 = –3 a x2 = 5 splňuje Viètovy vztahy. Nebo jinak řečeno, na pořadí kořenů nezáleží.

To je sice hezké, ale vzorečky pro spočtení kořenů z b a c jsou natolik jednoduché, že tu není čím se zabývat. S kubickou rovnicí x3 + bx2 + cx + d = 0 se ve škole potkal asi málokdo, neboť vzoreček pro její řešení je dosti složitý a navíc vyžaduje znalost komplexních čísel. Kubická rovnice má tři kořeny x1, x2, x3 a podobně jako u polynomu druhého stupně pro tyto kořeny platí, že

x3 + bx2 + cx + d = (x – x1)(x – x2)(x – x3).

Opět můžeme pravou stranu roznásobit a zjistit, že

b = –(x1 + x2 + x3)
c = x1 x2 + x2 x3 + x1 x3
d = – x1 x2 x3

a stejně jako u Viètových vztahů vidíme, že kořeny x1, x2, x3 můžeme mezi sebou libovolně přehazovat a rovnice se nezmění. Dokonce můžeme proměnné zaměnit cyklicky x1 → x2 → x3 → x1 a rovnice se nezmění. Prostě ať s těmi kořeny zamícháme jakkoliv, rovnice jsou pořád stejné.

Jak ale využít tento fenomén k nalezení vzorečku pro kořeny? To, co nám umožní kořeny nakonec najít, je fakt, že existují dvě algebraické kombinace kořenů x1, x2, x3, které se mícháním kořenů buď nemění, nebo se jeden převede na druhý. Označíme-li si tyto výrazy α a β, pak nám libovolná záměna dvou kořenů α a β prohodí a libovolná cyklická záměna kořenů s nimi neudělá nic (tak jako u Viètových vztahů).

Následujících vzorečků se neděste, jsou tu jen pro ilustraci a pro ty, kteří si to chtějí ověřit na vlastní pěst. Pro zjednodušení předpokládáme, že b = 0 — toho lze vždy vhodnou substitucí docílit.

Písmeno j označuje komplexní číslo, pro které platí j3 = 1 a j2 + j + 1 = 0.

Jak nám α a β pomohou k nalezení kořenů x1, x2, x3? Je to trochu magie, ale lze spočítat, že tato dvě čísla jsou kořeny kvadratické rovnice, jejíž koeficienty jsou dané výrazy v našich původních parametrech a, b a c. Tedy nám stačí spočítat řešení této kvadratické rovnice, což umíme, a pak nějak z α a β zkusit dostat kořeny x1, x2 a x3. To už ale není nijak těžké -- naše kořeny jsou postupně 

Pokud si to chcete zkontrolovat, stačí vám znát vztahy pro j a vědět, že součet všech tří kořenů je nulový — to zařizuje naše zjednodušující podmínka b = 0.

V podstatě stejně lze postupovat pro rovnice čtvrtého řádu x4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0. Jde o to, najít trojici algebraických výrazů takovou, že míchání čtyřmi kořeny naší rovnice tyto výrazy míchá mezi sebou, a které jsme navíc schopni najít pomocí řešení rovnice stupně třetího. Pokud chcete znát detaily, přečtěte si třeba oceněný a velice přístupný článek o symetriích, jehož autorem je slavný francouzský matematik Alain Connes.

Průšvih je, že pro rovnice pátého a vyšších stupňů se tyto výrazy najít nepodařilo a lidé to zkoušeli tak dlouho, až matematici Abel s Ruffinim dokázali, že vlastně žádné vzorečky obsahující jen aritmetické operace a odmocniny pro rovnice vyšších stupňů existovat ani nemohou. Oba přitom pracovali i s tímhle naším mícháním kořenů, ale byl to až Galois, kdo učinil krok do neznáma a úplně změnil paradigma tím, že prohlásil právě tato míchání kořenů za středobod studia, zajímá-li se člověk o polynomiální rovnice.

Ačkoliv principiálně nelze napsat vzoreček pro řešení libovolné rovnice dejme tomu šestého stupně, je spousta konkrétních rovnic, které řešit umíme. Například rovnici x6 + 3x4 + 3x2 +1 = 0 můžeme převést substitucí t = x2 na rovnici t3 + 3t2 + 3t + 1 = 0, což je rovnice třetího stupně, pro kterou vzoreček máme. Tohle je jednoduchý případ, kde nás ta substituce snadno napadne. Co ale u rovnice x6 – 6x5 + 18x4 – 32x3 +36x2 – 24x + 8 = 0? Přitom jsme ji dostali z předchozí rovnice pouhou substitucí x→ x – 1.

Jak tedy poznat, které rovnice řešit dovedeme a které ne? Různá zamíchání kořenů lze vždy skládat. Zamícháme jedním způsobem, pak zamícháme druhým a výsledkem celého procesu je zamíchání třetí. A aby toho nebylo málo, ke každému zamíchání existuje zamíchání inverzní, které ho vyruší.

Galois si všiml, že skládání různých zamíchání kořenů dávají skupině (le groupe) zamíchání bohatou vnitřní strukturu, která přesně určuje řešitelnost nebo neřešitelnost dané rovnice pomocí algebraických operací a odmocnin a dokonce umožňuje tato řešení nalézt. Nesmí se ovšem brát v úvahu všechna možná zamíchání, ale jen ta, která nemění algebraické vztahy, jež kořeny splňují. Viètovy rovnice pro kořeny musí být splněny vždy, ale v konkrétních případech mohou kořeny splňovat další rovnice. Galois se tak v podstatě zaměřil na to, jaké symetrie mají kořeny samy o sobě. Například u předchozího příkladu rovnice šestého stupně lze seskupit kořeny do tří skupin po dvou, kde v každé skupině jsou dvě řešení rovnice t= x. Galoisova míchání to musí respektovat.

Jiným dobrým příkladem je rovnice x5 – 1 = 0, jejíž kořeny jsou vrcholy pravidelného pětiúhelníku (v komplexní rovině). Cyklické zamíchání x1 → x2 → x3 → x4 → x5 → x1 odpovídá rotaci tohoto pětiúhelníku a lze dokázat, že takové rotace o násobek 72 stupňů jsou přesně všechna Galoisova zamíchání.

Obecně platí, že čím více symetrií kořeny mají, tím jednodušší je jejich Galoisova grupa míchání. Různá míchání kořenů byla matematiky zkoumána už před Galoisem, ale až on zjistil, na které se zaměřit a jak správně využít jejich skládání. Na jeho počest se tato skupina zamíchání spolu s operací skládání, jež jsou přiřazeny nějaké polynomální rovnici, dnes jmenuje Galoisova grupa rovnice.


Vlevo jsou k racionálním číslům přidané kořeny nějakých rovnic a vpravo jsou jim odpovídající Galoisovy grupy. Zdroj Wikimedia, public domain.

Jak ale zjistit, jakou Galoisovu grupu má ta která rovnice? To je celkem zapeklitý problém, jehož řešení do velké míry závisí na klasifikaci grup. Ukázalo se totiž, že Galoisových grup není mnoho. Pro každý počet proměnných existuje jen několik možných grup, které jsou navíc velice dobře prozkoumány. Při pohledu na konkrétní polynomiální rovnici tedy lze na základě některých vlastností rovnice (sudost / lichost stupně rovnice, fakt, že všechny mocniny proměnné jsou sudé a podobně) odhadnout, které z grup připadají v úvahu. Zvědavý čtenář může nahlédnout matematikům do kuchyně.

Rovnice, Galoisovy grupy… a co dál?

Jak je u matematiků dobrým zvykem, když se něco ukáže jako užitečné, začnou to zobecňovat a hledat všude možně. Pojem (abstraktní) grupy se ustanovil jako označení pro množinu, jejíž prvky lze nějakým způsobem skládat tak, že pro každý prvek existuje prvek inverzní vůči tomuto skládání. Abstraktní grupy mají mnoho konkrétních realizací a zastávají tu méně, tu více důležitou roli v téměř všech odvětvích matematiky. Všude tam, kde lze nalézt nějakou symetrii nebo strukturu, hrají grupy důležitou roli. Můžeme se tedy například podívat na geometrické útvary a zkoumat jejich geometrické symetrie. Grupa přiřazená nějakému geometrickému útvaru je pak množina geometrických transformací, které tento útvar zachovávají, tedy těch transformací, po kterých náš útvar vypadá pořád stejně.

Například čtverec v rovině je zachováván zrcadlením podle svých středových os a rotacemi o násobky 90 stupňů. Rotace například o 45 stupňů nám čtverec postaví na špičku a tedy nepatří do jeho grupy symetrie. Všechny symetrie rovnostranného trojúhelníku vypadají takto:


Symetrie rovnostranného trojúhelníku, tj. rotace kolem středu trojúhelníku o 120, respektive 240 stupňů a zrcadlení podle os stran. Zdroj: http://users.humboldt.edu/flashman/Courses/SYM_TRIA.gif

Pokud si dáte tu práci, jednotlivé transformace trojúhelníka pojmenujete a prozkoumáte, jakým způsobem se skládají (například zrcadlení podle osy strany AB následované zrcadlením podle osy strany BC je dává stejný výsledek jako rotace o 60 stupňů proti směru hodinových ručiček), zjistíte, že vám vyjde totéž, jako kdybyste vrcholy trojúhelníku pojmenovali x1, x2, x3 a použili pravidla pro míchání proměnných. Když budeme postupně brát pravidelné n-úhelníky, budeme dostávat grupy, které se jmenují \mathbb{Z}n. Ty se dají popsat jako čísla od nuly do n – 1 s tím, že operace skládání je definovaná jako zbytek po dělení n prostého sečtení těchto čísel. Pokud vám to zní cize, tak si za n dosaďte 12 a podívejte se na ciferník hodin. Samozřejmě můžeme brát v úvahu i složitější útvary, ale pokud nebudou nějakým způsobem symetrické nebo pravidelné, jediná shodnost, která takový útvar bude zachovávat bude pouze triviální zobrazení, které každému bodu A přiřadí bod A a tedy nedělá vlastně nic.

V trojrozměrném prostoru máme místo mnohoúhelníků k dispozici takzvaná platónská tělesa, jejichž grupy symetrií jsou velice zajímavé. Pro krychli si člověk možná zobrazení ještě snadno představí, ale co pro pravidelný dvanáctistěn?


Pravidelný dvanáctistěn, zdroj: Wikimedia, public domain

I geometrické grupy lze klasifikovat. Ostatně se říká, že to pro grupy symetrií rovinných útvarů provedli mimoděk už Arabové, jak se prý může každý přesvědčit na vlastní oči pohledem na maurské mozaiky a řezby v Alhambře ve španělské Granadě. Přinejmenším jednomu matematikovi se ale zdá, že jedna z možných symetrií tam úplně potvrzena ještě nebyla. Takže pokud vás více než historie baví vizuální hlavolamy, můžete trávit čas v Alhambře určováním typu symetrií a ještě to s klidným svědomím vydávat za rozšiřování lidského poznání.

Jedním z posledních vědeckých úspěchů, který ukazuje užitečnost těchto matematických výsledků druhé poloviny 19. století, je identifikace způsobu, jakým některé RNA viry staví ochranný obal, takzvanou kapsidu. RNA virus se skládá z dlouhého řetězce (ribo)nukleotidů adeninu (A), cytosinu (C), guaninu (G) a uracilu (U), který nějakým způsobem okolo sebe drží proteiny tvořící onu kapsidu jako ochranný štít proti vnějším vlivům. Po nasekvenování takového viru v laboratoři nám tedy v počítači přistane až několik desítek tisíc znaků dlouhý řetězec složený z písmen A, C, G a U a naším úkolem je zjistit, které části tohoto řetězce jsou zodpovědné za stavění a přidržování kapsidy. To je ovšem jako hledat jehlu v kupce sena, aniž byste pořádně věděli, jak ta jehla vlastně vypadá.


Pravidelný dvacetistěn, zdroj: Wikimedia, public domain.

Kapsida má pro některé viry tvar, který připomíná pravidelný dvacetistěn. Pokud vyjdeme z předpokladu, že i ten řetězec nukleotidů uvnitř kapsidy má aspoň přibližně symetrii svého obalu, znalost teorie grup nám řekne, že ty kousky řetězce zodpovědné za přidržování kapsidy musíme hledat ve skupinkách po pěti a že tyto skupinky by měly být zhruba stejně daleko od sebe.

Počítačová analýza s tímto nástřelem vyšla a skutečně se povedlo identifikovat části RNA zodpovědné za „přidržování“ proteinů. Víme už tedy, jaký biochemický mechanismus je zodpovědný za přidržování proteinů kapsidy okolo RNA řetězce a můžeme se tedy pokoušet tento mechanismus narušit například během replikace viru, kdy si svou kapsidu teprve dává dohromady. Aplikace grup v molekulární chemii mají dlouhou historii. Už od poloviny dvacátého století teorie grup například předpovídá, jaká spektra mají ty které molekuly v Ramanově spektrometru mít.

Monstra

Jsou tu ale i mnohem méně přímé aplikace. V rámci klasifikace abstraktních konečných grup hrají prominentní roli takzvané jednoduché grupy. To jsou paradoxně ty nejsložitější grupy, které existují, protože „jednoduchost“ v jejich názvu se vztahuje k tomu, že tyto grupy nejsou žádným způsobem poskládány z menších a nejsou tedy „složené“. Objev nového druhu jednoduchých grup tak byl vždy velkou událostí, protože se jednalo o naprosto novou, neprozkoumanou strukturu.

Existuje několik nekonečných sérií jednoduchých grup, ale kromě nich tu máme ještě takzvané sporadické jednoduché grupy. To jsou vlastně takové zrůdičky, které nikam nezapadají, jsou strašně divné a dodnes jim lidé moc nerozumí, ale prostě tu jsou. První takové nečekané sporadické jednoduché grupy objevil už v druhé půlce devatenáctého století francouzský matematik Émile Léonard Mathieu. Tyto grupy se žádným zřejmým způsobem nevztahovaly k geometrii nebo jiným známým matematickým strukturám.

Zhruba o sto let později v laboratořích NASA řešili inženýři zapeklitý problém. Sonda Voyager měla vysílat informace směrem k zemi z do té doby naprosto nepředstavitelných vzdáleností — z druhého konce sluneční soustavy! Bylo potřeba vymyslet způsob kódování signálu, který by byl odolný vůči rušení. Takový kód není nic jiného než nějaká konkrétní podmnožina všech možných řetězců nul a jedniček dané délky. Například si můžeme vzít řetězce délky tři 000, 001, 010, 100, 110, 101, 011, 111 a za kód množinu 000, 111. Tedy můžeme zakódovat nulu jako 000 a jedničku jako 111. Sice nám to prodlouží vysílání na trojnásobek, ale pokud dojde k interferenci a přijde nám od družice řetězec 010, můžeme to brát jako 000.

Jak už jistě tušíte, ke každému kódu můžeme definovat grupu kódu. Uděláme to tak, že vezmeme všechny transformace řetězců dané délky, které nám kód zachovávají. Tato grupa má jisté důsledky pro rezistenci kódu vůči interferencím a díky tomu, že grup není mnoho a máme je klasifikovány, ani kódů nemůže být mnoho a můžeme tedy mezi nimi vybrat ten nejlepší. Nakonec padla volba na takzvaný Golayův kód, jehož grupou je právě jedna z Mathiéuho grup.

Od Mathiéuho dob se algebraici bavili lovem sporadických jednoduchých grup. Největším úlovkem se ukázala být takzvaná monstrózní grupa, která má 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,00 prvků. To je zhruba polovina atomů v námi pozorovaném vesmíru. Protože je tato grupa jednoduchá, nelze jí porozumět pomocí menších grup, ale i přes to a přes její velikost byli lidé schopni ji dostatečně dobře prozkoumat. Dokonce tak dobře, že se na konci sedmdesátých let objevila takzvaná Monstrous moonshine conjecture, tedy monstrózně šílená domněnka. Ta dávala do souvislosti tuto grupu s takzvaným Kleinovým invariantem, o kterém ještě bude řeč. Tuto domněnka dokázal Richard Borcherds za využití matematiky z teorie strun, za což obdržel nejprestižnější matematické ocenění — Fieldsovu medaili.

Největším úkolem v rámci klasifikace konečných grup ale byl důkaz, že matematici už v téhle oblasti ulovili všechno a že tedy žádné jiné konečné grupy než ty známé už neexistují. Algebraici tímto důkazem strávili celé dvacáté století a důkaz této klasifikace rozkládající se v bezpočtu vědeckých monografií a článků má kolem dvou tisíc stran. Pracuje se na jeho zjednodušení a syntéze, která by tento počet stran měla stlačit na tisíc.

Nekonečné grupy

Vraťme se na chvilku k pravidelným mnohoúhelníkům v rovině. Když budeme zvětšovat počet jeho stran, bude takový mnohoúhelník stále symetričtější a jeho grupa symetrií bude stále větší. Pro nekonečný počet stran dostaneme kružnici, kterou můžeme pootočit o libovolný úhel a bude vypadat stále stejně. Grupa symetrií kružnice je tedy nekonečná. (Naopak úplně nepravidelný mnohoúhelník není zachován žádným netriviálním geometrickým zobrazením a tak je jeho grupa symetrií triviální — obsahuje pouze zobrazení, které každému bodu A přiřadí bod A.)

Vidíme tedy, že dobrý smysl mají i grupy s nekonečným počtem prvků. Úzce souvisejí zejména s geometrií, ať už klasickou eukleidovskou, nebo moderní diferenciální. Fascinující je, že jistá třída takovýchto nekonečných grup hraje stejnou roli pro diferenciální rovnice, jakou hrají konečné grupy pro rovnice polynomiální. Diferenciální rovnice jsou hlavním jazykem pro popis světa kolem nás. Používají se ve všech přírodních vědách i v ekonomii.

Z praktického hlediska dnes jak polynomiální, tak diferenciální rovnice řeší počítače přibližnými numerickými metodami. To ovšem neznamená, že jsou grupy, které byly původně zkoumány právě kvůli řešení rovnic, dnes k ničemu. Největší praktickou aplikací nekonečných grup najdeme v teoretické fyzice, konkrétně v kvantové mechanice. V této teorii se totiž částice modelují jako matematické abstraktní entity, které ale lze převádět jednu na druhou pomocí takzvané kalibrační grupy. Právě tato kalibrační grupa stojí za pojmem symetrie v částicové fyzice. V šedesátých letech přinášely výzkumy na urychlovačích nové a nové částice snad každý měsíc. Jejich počet narostl tak, že bylo těžké se v nich vyznat. Teoretický fyzik Murray Gell-Mann si vzal na pomoc právě jednu z nekonečných grup zkoumaných geometry a povedlo se mu pomocí ní vnést do toho částicového chaosu řád. Navíc byl schopen předpovědět řadu dalších, do té doby neznámých, částic. Jeho předpovědi se potvrdily a Gell-Mann dostal v roce 1969 Nobelovu cenu.

Poslední využití grup, o kterém si povíme, jsou takzvané eliptické křivky. Eliptická křivka pro nějaké konkrétní hodnoty celočíselných parametrů a a b je množina bodů [x,y], které splňují rovnici

y2 = x3 + ax + b.


Eliptické křivky, zdroj: Wikimedia, public domain.

Eliptické křivky zasahují do obou světů diskrétního i spojitého, protože za x a y můžeme dosazovat reálná (nebo komplexní) čísla a dostávat tak spojité křivky jako na obrázku, ale stejně tak lze dosazovat i celá čísla a brát rovnici jen ve smyslu modulární aritmetiky — kdy pokládáme dvě čísla za sobě rovná, pokud se rovnají jejich zbytky po dělení nějakým fixním číslem p. A pak existuje ještě třetí verze těchto křivek, to když za x a y bereme pouze čísla, která dostaneme aritmetickými operacemi z racionálních čísel a několika odmocnin. Ať už ale eliptické křivky pojmeme jakkoliv, existuje geometrické pravidlo, podle kterého můžeme body na eliptické křivce "skládat" tak, že eliptická křivka tvoří grupu.


Sčítání bodů na eliptické křivce, zdroj: Wikimedia, public domain.

Struktura těchto grup pro třetí variantu eliptických křivek je tak složitá, že pouhý počet jejich prvků je předmětem tzv. Birchovy a Swinnerton-Dyerovy domněnky, za jejíž rozlousknutí čeká řešitele milión dolarů. Pro diskrétní eliptické křivky mají tyto grupy natolik složitou strukturu, že se s úspěchem využívají pro šifrování. Komplexní varianta těchto křivek je nejjednodušší. Tyto křivky jsou klasifikovány pomocí funkce, která se jmenuje Kleinův invariant. Ano, přesně ten invariant, který vystupuje v monstrózně šílené domněnce.

Co říci závěrem? Matematika prodělala za posledních sto padesát let neuvěřitelný vývoj. Její kvantitativní části se do jisté míry oddělily jako statistika a výpočtová a numerická matematika. Obecná teoretická matematika se dnes zabývá zkoumáním struktur a grupy jsou naprosto neodmyslitelnou součástí tohoto přístupu. Snad jen teorie množin si vystačí bez grup; množinou totiž může být prakticky cokoliv.

V první třídě se mi snažili vysvětlit množiny na základě toho, že nemohu sčítat jablka a hrušky. To je samozřejmě nesmysl, množinu jablek a hrušek zvládne udělat každý, kdo přijde s pytlem do sadu. Podstatné je to sčítání, ta grupová operace, která opravdu odráží nějakou pravdu o světě.

::

(opraveno a doplněno 22. 2. 2015)

 
 
© 067, s.r.o.
Děkujeme všem platícím čtenářům! Umožňují nám a našim autorům vytvářet 067 tak, jak dovedeme nejlépe.